Sección 3 - Teoría de Sistemas: 2011

Edward Norton Lorenz fue un matemático y meteorólogo estadounidense, pionero en el desarrollo de la teoría del caos. Fue quien introdujo el concepto de atractores extraños y acuñó el término efecto mariposa. nació en West Hartford, Connecticut, el 23 de mayo de 1917. Estudio matemáticas en el Dartmouth College en New Hampshire y en la Universidad de Harvard en Cambridge, Massachusetts.

Durante la Segunda Guerra Mundial, sirvió como pronosticador del tiempo para la Fuerza Aérea Estadounidense.

Después de volver de la guerra, decidió estudiar meteorología, en donde ganó dos grados del Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), donde después fue profesor por muchos años.

Murió el 16 de abril de 2008 a la avanzada edad de 90 años en su casa de Cambrige, Massachusetts.

La Teoría del Caos

Definición

El término Caos se refiere a una interconexión subyacente que se manifiesta en acontecimientos de la vida cotidiana que son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso el concepto de caos a menudo puede crear en nosotros una idea negativa, una visión de desorden en donde las cosas no funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto es precisamente el orden.

Durante mucho tiempo la noción de que en el universo existía un orden total y continuo fue algo innegable, las teorías de Newton veían al mundo como un compuesto de bloques mecánicos en interrelación, partes separadas de la realidad que respondían a una causa-efecto. De hecho nuestra cultura sigue estando impregnada de este mecanicismo y predictibilidad, intentamos y nos obsesionamos por predecir cualquier fenómeno desde una perspectiva reduccionista. Pero es justamente aquí donde surge el nuevo paradigma, al ver a la realidad como un todo en donde cualquier factor, por pequeño que parezca, puede afectar el comportamiento y la evolución de la naturaleza.

Del entendimiento de estos factores y sus relaciones surge la Teoría del Caos, en la cual existen tres componentes esenciales: el control, la creatividad y la sutileza. El control por dominar la naturaleza es imposible desde la perspectiva del caos, pactar con el caos significa no dominarlos sino ser un participante creativo. Más allá de nuestros intentos por controlar y definir la realidad se extiende el infinito reino de la sutileza y la ambigüedad, mediante el cual nos podemos abrir a dimensiones creativas que vuelven más profundas y armoniosas nuestras vidas.

En este sentido se dice que un sistema visto desde el punto de vista del caos, es decir sistema caótico, es un sistema flexible y no lineal, en donde el azar y lo no predecible juegan un papel fundamental. Un ejemplo de sistema caótico podría ser un río, en donde cada partícula de agua sigue una trayectoria aleatoria e impredecible que sin embargo no rompe con la dinámica establecida en el mismo río.

Podríamos decir entonces que la Teoría del Caos es todo lo anterior y mucho más. Es encontrar el orden en el desorden, y constituye el principal afán de quienes, en los diversos campos de la ciencia, adoptan esta nueva perspectiva. Por ejemplo en la geometría moderna surgen figuras caóticamente raras y bellas como resultado de modelos recursivos que generan comportamientos impredecibles, sin embargo estos conservan un cierto orden. Estas formas son conocidas como fractales.

Aproximación Matemática de la Teoría del Caos

Desde el punto de vista científico la Teoría del Caos puede considerarse como una rama de la matemática y la física que trata ciertos tipos de comportamientos aparentemente aleatorios (caóticos) de los sistemas dinámicos.

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar a grandes rasgos como:

• Estables.

• Inestables.

• Caóticos.

Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay fuerzas que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

En el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en las condiciones iníciales hace que el mismo evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera, el sistema solar, las placas tectónicas, los fluidos turbulentos y los crecimientos de población.

Para poder clasificar el comportamiento de un sistema como caótico, éste debe tener las siguientes propiedades:

• Debe ser sensible a sus condiciones iníciales.

• Debe ser transitivo.

• Sus órbitas periódicas deben ser densas.

En teoría de caos, los sistemas dinámicos son estudiados a partir de su espacio de fases, es decir, la representación coordenada de sus variables independientes. En estos sistemas caóticos, es fácil encontrar trayectorias de movimiento no periódico, pero cuasi-periódicas.

En este esquema se suele hablar del concepto de atractores extraños, es decir, trayectorias en el espacio de fases hacia las que suelen tender todas las trayectorias normales. En el caso de un péndulo oscilante, el atractor sería el punto de equilibrio central.

Los atractores extraños suelen tener formas geométricas caprichosas, y en muchos casos parecidos o similitudes a diferentes escalas. En este caso, a estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas, se las llama objetos fractales.

La Teoría del Caos y el Efecto Mariposa

Hacia 1960, Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera, tratando de encontrar un modelo matemático, un conjunto de ecuaciones, que permitiera predecir a partir de variables sencillas, mediante simulaciones de ordenador, el comportamiento de grandes masas de aire, en definitiva, que permitiera hacer predicciones climatológicas.

Lorenz realizó distintas aproximaciones hasta que consiguió ajustar el modelo a la influencia de tres variables que expresan como cambian a lo largo del tiempo la velocidad y la temperatura del aire. El modelo se concretó en tres ecuaciones matemáticas, bastante simples, conocidas hoy en día como modelo de Lorenz.

Pero, Lorenz recibió una gran sorpresa cuando observó que pequeñas diferencias en los datos de partida (algo aparentemente tan simple como utilizar 3 ó 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones del modelo. De tal forma que cualquier pequeña perturbación, o error, en las condiciones iníciales del sistema puede tener una gran influencia sobre el resultado final. De tal forma que se hacía muy difícil hacer predicciones climatológicas a largo plazo. Los datos empíricos que proporcionan las estaciones meteorológicas tienen errores inevitables, aunque sólo sea porque hay un número limitado de observatorios incapaces de cubrir todos los puntos de nuestro planeta. Esto hace que las predicciones se vayan desviando con respecto al comportamiento real del sistema.

Lorenz intentó explicar esta idea mediante un ejemplo hipotético. Sugirió que imaginásemos a un meteorólogo que hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos y a partir de datos muy exactos. Podría encontrarse una predicción totalmente errónea por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podría introducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la predicción de una tormenta.

De aquí surgió el nombre de efecto mariposa que, desde entonces, ha dado lugar a muchas variantes y recreaciones.

Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del comportamiento de un sistema caótico, en el que las variables cambian de forma compleja y errática, haciendo imposible hacer predicciones más allá de un determinado punto, que recibe el nombre de horizonte de predicciones.

[+/-]

Los Sistemas

Sistema

Es un método: que nos permite unir y organizar los conocimientos con la intención de una mayor eficacia de acción. Engloba la totalidad de los elementos del sistema estudiado así como las interacciones que existen entre los elementos y la interdependencia entre ambos.

Según Bertalanffy, es un conjunto de unidades recíprocamente relacionadas.

La Teoría General de Sistemas, que había recibido influencias del campo matemático (teoría de los tipos lógicos y de grupos) presentaba un universo compuesto por acumulos de energía y materia (sistemas), organizados en subsistemas e interrelacionados unos con otros. Esta teoría aplicada a la psiquiatría, venía a integrar los enfoques biológicos, dinámicos y sociales, e intentaba, desde una perspectiva global, dar un nuevo enfoque al diagnóstico, a la psicopatología y a la terapéutica.

HALL y FAGEN han definido el "sistema" como: conjunto de objetos, junto con las relaciones entre los objetos y entre sus propiedades. Las partes componentes del sistema son los objetos, cuyas interrelaciones lo cohesionan.

¿De que se compone un sistema?

ASPECTO ESTRUCTURAL

a) Un límite

b) Unos elementos

c) Unos depósitos de reservas

d) Una red de comunicaciones e informaciones

ASPECTO FUNCIONAL

a) Flujos de energía, información

b) Compuertas, válvulas que controlan el rendimiento, caudal, etc.

c) Tiempos de duración de las reservas "Stokages"

d) Bucles de Información, de retroacción

La Teoría General de Sistemas distingue:

a) el "SISTEMA"

b) el "SUPRASISTEMA" (medio del sistema)(Familia extensa, amigos, vecinos)

c) los "SUBSISTEMAS" (componentes del sistema)

El objetivo de la teoría es la descripción y exploración de la relación entre los sistemas dentro de esta jerarquía.

Hay que distinguir "sistema" de "agregado". Ambos son conjuntos, es decir, entidades que se constituyen por la concurrencia de más de un elemento; la diferencia entre ambos consiste en que el sistema muestra una organización de la que carecen los agregados. Así pues, un sistema es un conjunto de partes interrelacionadas.

Tipos De Sistemas

1. En cuanto a su constitución, pueden ser:

♦ Sistemas físicos o concretos: compuestos por equipos, maquinaria, objetos y cosas reales. El hardware.

♦ Sistemas abstractos: compuestos por conceptos, planes, hipótesis e ideas. Muchas veces solo existen en el pensamiento de las personas. Es el software.

2. En cuanto a su naturaleza, pueden ser:

♦ Sistemas cerrados: no presentan intercambio con el medio ambiente que los rodea y son herméticos a cualquier influencia ambiental.

♦ Sistemas abiertos: presentan intercambio con el ambiente, a través de entradas y salidas. Son adaptativos para sobrevivir. Su estructura es óptima.

[+/-]

Ludwig Von Bertalanffy: Teoría General de Sistemas (TGS)

Nace: 19 de septiembre de 1901
Lugar: Viena, Austria

Muere: 12 de junio de 1972
Lugar: Bufalo,New York, EEUU

Biografía: Biólogo austríaco que realizó inmensas contribuciones en el campo de la educación, la historia, la filosofía, la sociología y la cibernética, pionero en la concepción organicista de la biología y recordado principalmente por la "Teoría general de los sistemas". Nacido en una distinguida familia de nobles húngaros, Ludwig von Bertalanffy estudió en su casa hasta los diez años, tras lo cual comenzó a recibir educación formal. Aprendió historia del arte, filosofía y ciencias en la Universidad de Innsbruk y más tarde en la Universidad de Viena, donde fue discípulo de Robert Reininger y Moritz Schlick.

En 1926 recibió su doctorado y dos años después publicó su primer libro sobre biología teórica. En 1937 se trasladó a Estados Unidos con una beca de la Fundación Rockefeller, permaneciendo dos años en la Universidad de Chicago y realizando sus primeras exposiciones conceptuales sobre la futura teoría general de los sistemas. A comienzos de la Segunda Guerra Mundial (1939-1945) y tras no presentarse como víctima del nazismo, debe abandonar Estados Unidos, retornando a Austria. En 1939, Ludwigvon Bertalanffy se incorpora como profesor de la Universidad de Viena, donde permaneció hasta 1948, cuando tras una breve estancia en Londres (Inglaterra), se trasladó a Ottawa (Canadá).

Entre 1950 y 1954 trabajó como investigador en la Universidad de Ottawa y al año siguiente volvió a Estados Unidos, donde continuó con sus investigaciones en e l "Mount Sinai Hospital" de Los Ángeles hasta 1958. En 1961, Ludwig von Bertalanffy se desempeño como profesor de biología teórica en la Universidad canadiense de Alberta (Edmonton), finalizando su actividad académica como Profesor en el Centro de Biología Teórica de la Universidad Estatal de Nueva Yorken Búfalo (1972). Ludwig von Bertalanffy concibió una explicación de la vida y la naturaleza desde la biología, planteándola como un sistema complejo sujeto a interacciones y dinámicas, que más tarde trasladó al análisis de la realidad social bajo el nombre de "teoría general de sistemas"

Teoria General De Sistemas

La teoría general de sistemas (TGS) o teoría de sistemas o enfoque sistémico es un esfuerzo de estudio interdisciplinario que trata de encontrar las propiedades comunes a entidades llamadas sistemas. Éstos se presentan en todos los niveles de la realidad, pero que tradicionalmente son objetivos de disciplinas académicas diferentes.

Entre 1948 y 1955 W. Ross Ashby y Norbert Wiener desarrollaron la teoría matemática de la comunicación y control de sistemas a través de la regulación de la retro-alimentación (cibernética), que se encuentra estrechamente relacionada con la Teoría de control. En 1950 Ludwig von Bertalanffy plantea la Teoría general de sistemas. En 1970 René Thom y E.C. Zeeman plantean la Teoría de las catástrofes, rama de las matemáticas de acuerdo con bifurcaciones en sistemas dinámicos, que clasifica los fenómenos caracterizados por súbitos desplazamientos en su conducta.

En 1980 David Ruelle, Edward Lorenz, Mitchell Feigenbaum, Steve Smale y James A. Yorke describen la Teoría del Caos, una teoría matemática de sistemas dinámicos no lineales que describe bifurcaciones, extrañas atracciones y movimientos caóticos. John H. Holland, Murray Gell-Mann, Harold Morowitz, W. Brian Arthur, y otros en 1990 plantean el Sistema adaptativo complejo (CAS), una nueva ciencia de la complejidad que describe surgimiento, adaptación y auto-organización. Fue establecida fundamentalmente por investigadores del Instituto de Santa Fe y está basada en simulaciones informáticas. Incluye sistemas de multiagente que han llegado a ser una herramienta importante en el estudio de los sistemas sociales y complejos. Es todavía un activo campo de investigación.

[+/-]

Fractales: Recursividad y Autosimilitud

Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal.

Fractal de Julia.

Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o tridimensional (como es el para los objetos que nos son más familiares), la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre.

Muchas veces, los fractales se subscriben a la definición anterior. Otras no: en vez de observarse la misma estructura en proporciones menores de la figura principal que estemos observando, serán evidentes rasgos y patrones nuevos. Ello dependerá del tipo de fractal que examinemos y, como debe ser evidente, de la función matemática que hayamos utilizado para producirlo.

Probablemente, el primer objeto fractal puro en la historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el matemático alemán Georg Cantor-inventor de la teoría de los conjuntos-alrededor de 1872. A pesar de ser una figura extremadamente sencilla, recoge todos los atributos discutidos sobre los fractales hasta el momento: presenta autosimilitud a cualquier escala y su dimensión es fraccionaria, con valor aproximado de 0,630929753571457437099527114 (log 2/log 3,si utilizamos una expresión más adecuada). Igualmente, podemos basarnos en él para introducir otra característica general de este tipo de objeto: son producidos por procesos de iteración.

La iteración puede describirse como un mecanismo de retroalimentación, que se repite un número n de veces. Esto se refiere, por ejemplo, al acto de utilizar un valor inicial en el cálculo de cierta función, y luego tomar el producto, o resultado, como valor inicial para el próximo cálculo de esa misma función. Dicha operación puede repetirse indefinidamente (incluso infinitamente), produciendo una iteración. Cualquier proceso semejante tendrá como resultado un fractal.El polvo de Cantor se inicia con un segmento lineal (justamente, conocido como el initiador); éste se divide en tres segmentos menores de la misma longitud, el central de los cuales se extrae. Este proceso (denominado, usualmente, como el generador) se repite indefinidamente, al final de lo cual-si tiene final- se habrá producido el polvo de Cantor.

Figura 3: iteración del polvo de Cantor.

De la misma manera, podemos producir un triángulo de Sierpinski, una figura inventada por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1915:

Figura 4: triángulo de Sierpinski.

Para éste, se comienza con un triángulo equilátero. En su interior, se traza otro triángulo equilátero, cuyas puntas, o esquinas, deben coincidir con los puntos medios de cada lado del triángulo mayor. Esta nueva figura tendrá una orientación invertida con respecto a la primera. Seguido, se retira, o se elimina, de la figura ese nuevo triángulo invertido, tal que solamente se conserven los tres triángulos equiláteros menores-y similares-que se observan dentro del grande. Luego, realizamos el mismo procedimiento (de iteración) para cada triángulo pequeño, obteniéndose, como resultado, un triángulo de Sierpinski.